РЕФЕРАТЫ И ШПАРГАЛКИ
5-BALLOV.COM - БАНК РЕФЕРАТОВ И ШПАРГАЛОК,
СКАЧАЙТЕ ВСЕ БЕСПЛАТНО!
-
-
Дорогие друзья! мы дарим Вам совершенно бесплатно огромное количество рефератов и шпаргалок! На сегодня сайт www.5-ballov.com собраны около 50 тысяч рефератов по различным темам и направлениям, а так же огромное шпаргалок. Все они рассортированы по направлениям и при необходимости Вы можете найти интересующую Вас работу поиском.
-
Все рефераты, представленные на нашем сайте, предлагаются бесплатно, но мы рекомендуем Вам не просто скачать его, распечатать и сдать, а как минимум прочитать и сделать в тексте какие то свои замечания и изменения, а как максимум мы советуем Вам ознакомиться с несколькими рефератами и на их основе создать свою собственную работу. Это будет полезно и Вам в качестве образования и намного уменьшит вероятность того, что реферат не будет принят преподавателем по причине того, что еще 10 Ваших однокурсников сдали точно такое же творение!
Комплексные числа
§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.
Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
(1)
Пусть выбран любой
, где
, и его норма:
- дифференциальный оператор.
- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)
Определение.
Открытое, связное множество
называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через
или
будем обозначать границу области.
Определение.
- (n-1)-мерное многообразие
S
в
принадлежит классу
(
), если
для
и
такие, что:
, где
однозначно проектируется на плоскость
, при этом:
D
- проекция данного множества на плоскость
,
- k раз непрерывно дифференцируема в
D
по всем переменным.
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
- множество
k
раз непрерывно дифференцируемых функций в
Q.
- множество
k
раз непрерывно дифференцируемых функций в
.
, аналогично
.
- множество финитных
k
раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично:
.
§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
.
- матрица квадратичной формы.
- n вещественных собственных значений матрицы
A
- количество положительных собственных значений.
- количество отрицательных собственных значений.
- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.
1.Если
= n
или
= n
, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
.
2.Если
= n - 1,
= 1
, или
= 1,
= n - 1
, то уравнение
гиперболическое
.
Ex:
-
волновое
уравнение.
Для уравнения Лапласа:
Для волнового уравнения:
3.Если
, а
, то
ультрагиперболическое
уравнение.
Ex:
.
4.Если
, то
параболическое
уравнение.
Ex:
, и - уравнение теплопроводности.
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.
Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
Уравнение (1) в новой системе координат:
(1')
Матрица Якоби:
.
В результате:
|
|
Ex:
гиперболическое уравнение.
- канонический вид волнового уравнения.
Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
Уравнение теплопроводности
Уравнение Пуассона
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
(6)
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.
Волновое уравнение.
(8)
(9)
(10)
(11.1)
(11.2)
(11.3)
(8) (9) (10) (11.1) - смешанные
(11.2) задачи
(11.3) (краевые задачи)
- единичный вектор внешней нормали к поверхности.
На
задаются начальные условия
.
На боковой поверхности - краевые задачи.
Параболическое уравнение.
(12)
(13)
(14.1)
(14.2)
(14.3)
(12) (13) (14 .1) - первая, вторая и третья смешанные задачи
(14.2) для уравнения
(14.3) теплопроводности.
(14.1) - на границе задана температура;
(14.2) - задан тепловой поток;
(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.
§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).
Первая смешанная задача.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.
- изолир.
.
- ортонормированный базис в
.
В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.
Пусть функции
- разложены по базису
тогда и
u(t,x)
можно разложить по базису
:
Почленно дифференцируем ряд 2 раза:
(7)
Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.
(8)
(9)
(7) (8) (9) - задача.
Решим однородное уравнение для (7):
- общее решение однородного уравнения (7)
(10)
В результате:
- частное решение неоднородного уравнения (7).
- общее решение уравнения (7).
Подставим (8) и (9) в решение:
т.е.
.
|
|
Замечание: не обоснована сходимость рядов.
§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
- собственные векторы и собственные значения.
(6)
- общее решение однородного уравнения (6)
- частное решение неоднородного уравнения (6)
- общее решение уравнения (6).
|
|
Рассмотрим функцию:
- бесконечно дифференцируема при
.
Если
из
, то:
, и при
функция склеивается как бесконечно гладкая.
-финитная :
- замыкание множества, где
отлична от 0.
.
Введём
- функция n переменных.
Свойства
:
1)
- бесконечно дифференцируемая, финитная:
.
2)
- замкнутый шар радиуса h с центром в O.
.
3)
Доказательство.
,
С
находится из условия
.
4)
.
Обозначим:
Интеграл по x бесконечно дифференцируем.
Если
, то:
Носитель функции принадлежит области интегрирования, и:
.
Если
, то
:
.
Свойства функции
:
- срезающая функция.
Пространство
.
Определение.
Пусть
. Назовём множество функций
, пространством
, если:
-
- измеримы в Q;
-
в смысле Лебега.
Вводится
. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Утверждение (без доказательства).
- полное пространство.
Вводится
.
Свойства пространства
.
Теорема 1.
Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве
:
.
Доказательство.
Множество ступенчатых функций плотно в
.
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в
.
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию
можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
Рассмотрим
- финитная, бесконечно дифференцируема в
.
Значит,
.
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве
.
Определение 2.
Пусть
и считается продолженной нулем вне
Q
. Скажем:
f
- непрерывна в среднеквадратичном, если
:
.
Теорема 3.
Любая функция из
непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.
Пусть
. Пусть
Оценим:
При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.
Теорема доказана.
Определение 3.
- бесконечно дифференцируема, финитна.
Свойства:
- осреднение функции
f
.
Теорема 4.
Любая функция из
сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в
.
Доказательство.
От
Q
к
, от
к
При
.
Возьмем любые две функции:
Определение.
- множество функций, принадлежащих
на любом компакте внутри области.
Определение 1.
Пусть
- обобщённая производная функции
f
, если
выполняется:
(1)
Теорема 1.
Обобщённая производная определяется единственным образом.
Доказательство.
Предположим противное:
- обобщённые производные функции
f
.
(2)
(3)
(2),(3) - тождество для
- что и требовалось доказать.
Теорема 2.
Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство - из интегрального тождества (1).
Примеры обобщённых производных.
Ex 1.
По определению:
Пусть
и
|
|
Ex 2.
Покажем, что обобщённой производной не существует.
Пусть
, то:
где
1) пусть
носитель в
, то :
2) пусть
:
, значит:
Вывод:
.
Вывод:
, не имеет обобщённой производной.
Теорема 3.
Пусть
имеет обобщённую производную
,
то:
1.
(4)
если
.
2. Если к тому же
(6)
(7)
Доказательство.
Выберем
h
так, чтобы
Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.
Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.
Теорема 4.
Утверждение.
Пусть
, то
Пусть
- открытый компакт, то
для
Теорема 5.
Пусть
.
имеет обобщённые производные
и
, то
существует обобщённая производная
.
Пространство Соболева.
Определение.
, такая, что
называется
пространством Соболева
порядка
k
.
Обозначения:
,
или
.
Введём
.
Утверждение.
- гильбертово(унитарное, сепарабельное).
Теорема 1.
- полное пространство.
Доказательство.
- фундаментальная в
.
- мультииндекс
- может быть равен 0.
в
.
в
.
Интегральное тождество для
:
Из сильной сходимости следует слабая:
Вывод: пространство полное.
Свойства пространств Соболева.
1.
для
.
2.Если
, то
.
3.Если
, то
.
4.Если
, то
если
, то
.
5.
- невырожденное,
k
раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее
в
.
и пусть
.
Пусть
.
Пусть
, то
.
Утверждение.
Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.
6.Обозначим
- куб со стороной 2
a
с центром в начале координат.
Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в
.
.
Доказательство.
Раздвинем область, возьмём
и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.
(определена в растянутом кубе)
Оценим:
Выберем
и рассмотрим
Разбиение единицы.
Теорема.
Пусть
- ограниченная область, пусть
- покрытие замыкания
Q
,
- может равняться бесконечности.
- открытые, тогда: существует конечный набор
- финитные, бесконечно дифференцируемые в
, неотрицательные функции, такие, что:
Используется для локализации свойства: U имеет свойство на
, расширяем
D
на
путём домножения на
.
Доказательство.
Возьмём
. Для
-
y
покрывается множеством
.
Для каждой выбранной y построим:
покрывается
. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:
.
Обозначим:
. Обозначим:
.
Определим:
:
Получили:
.
Если
, то
,
, и
.
Знаменатель в 0 не обращается.
Построена
выполняется свойство 3.
- выполняются свойства 1 и 2.
Теорема о разбиении единицы доказана.
Теорема о продолжении функции.
Частный случай - продолжение из прямоугольников.
Продолжение функции из
в
.
Лемма 1.
- продолжение функции
f
:
и
1.Определить функцию.
2
.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по
до
k
-го порядка.
Доказательство.
Определим
(2)
Коэффициенты
из условия:
(3)
Значит, функция непрерывна.
Теперь - доказательство совпадения производных.
Выполняется одно уравнение из (3), и:
.
Значит:
.
Неравенство (1) очевидно через определение нормы в
.
Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к
- пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.
Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве
в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.
Лемма 2.
(4)
Теорема о продолжении функции.
Пусть
- ограниченная область, граница
. Пусть
(
- область), тогда:
- продолжение
f
, такая, что:
1)
2)
3)
(5)
Замечание.
Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из
Q
на
и все свойства, как в лемме 1.
Доказательство.
В окрестности каждой точки границы:
нарисуем шар
.
Пусть в
O(z)
граница задаётся уравнением
.
Введём новые переменные:
- невырожденное преобразование координат.
Преобразование:
- внутри пространства Соболева.
Во что перейдёт множество:
Вырезали куб
.
Результат преобразования
Прообраз куба
- криволинейный кубик.
Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.
(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y,
переход от
y
к
x
:
Введём :
если
на носителях
обратятся в 1.
Свойства оператора продолжения:
1. F(x) - ограниченный оператор;
2. Т.к.
- финитная, то
F(x)
-
финитная на
Доказать:
F(x)=f(x)
,если
.
Замечание.
Теорема 1 остаётся справедливой для пространств
(следует из доказательства).
Теорема 2.
Пусть
- ограниченная область
,
- всюду плотно в
.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную функцию
.
- ограниченная.
F
-продолжение
f.
Так как
F
- финитная в , то
Сепарабельность пространств Соболева.
Теорема.
Пусть
- ограниченная область,
, тогда :
- сепарабельное.
Построениe счётного всюду плотного множества.
Доказательство.
Рассмотрим
; продолжение функции
f
:
.
Аппроксимируем функцию
F
. Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций
.
Очевидно :
.
Где коэффициенты :
.
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.
Определение.
Функции
образуют ортонормированную систему, если
, и
.
Утверждение.
В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система
,что
.
Разложение по этому базису единственно, и :
.
Равенство Парсеваля.
.
Пространство
- сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).
Разложение в сходящийся ряд :
Определим вид коэффициентов Фурье:
проинтегрируем по частям и получим :
, где
Получаем :
и следовательно :
F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.
Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.
След функции из H k (Q).
Для функции из
понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.
Если
удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :
определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.
Рассмотрим
-ограниченную область,
.
- (n-1) - мерная поверхность,
.
Пусть
Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением :
Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.
Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :
Оценим :
Обе части умножим на
и проинтегрируем по
D
:
f - финитная.
Так как
может быть продолжена в
финитным образом,
, причём
Существует последовательность
Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в
- полное, следовательно
- сходится,
Перейдём к пределу, получим :
Утверждение.
Определение
не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности
.
Доказательство.
Пусть есть две последовательности
в
.
Пусть
.
Следовательно, должны совпадать два предела в
.
Рассмотрим
Значит :
, и
.
Если функция непрерывна в
и принадлежит
, то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.
Формула интегрирования по частям.
Пусть Q- ограниченная,
.
,
- единичный вектор внешней нормали к
.
Теорема Реллиха-Гординга.
Если
, то
, если
сходится в
, то
сходится в
.
Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.
Пусть
- ограничена,
, тогда :
- компактно вложено в
.
Множества, ограниченные в
, являются предкомпактными в
.
Определение.
Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.
Из любой ограниченной последовательности функций из
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в
.
Или : Для
можно выбрать
, сходящуюся в
.
Доказательство.
1. Продолжим функции
финитным образом в более широкую область
,
.
.
Оператор продолжения ограничен, и :
.
Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций
с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции
- бесконечно дифференцируемы в
.
- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.
Используем преобразование Фурье :
.
.
В силу финитности :
Оценим по неравенству Коши-Буняковского:
Свойство.
В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.
- слабо сходящаяся в
.
- сходящаяся для любой непрерывной линейной функции
.
В качестве
возьмём функции :
- сходится
Докажем, что
- фундаментальна в
Так как последовательность
сходится для любых и ограничена, то для интеграла
применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :
, где
- радиус шара.
исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :
Выбором R, интеграл
можносделать сколь угодно малым, т.е. :
.
Если
и k,m - выбрать , то :
, и последовательность
- фундаментальна.
Формула интегрирования по частям
(1)
- ограничена,
.
(2)
В уравнении (2) перейдем к пределу при
, получаем уравнение (1).
Пространство
Определение.
Назовём пространством
замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в
.
- замыкание
в
.
Если есть
, то :
.
Если
, то
. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
.
- ограничена,
.
Определение.
Эквивалентные нормы.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).
Скалярное произведение
. , .
называется эквивалентным ( . , . ) , если :
.
Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.
Теорема 2.
В пространстве
можно ввести скалярное произведение по формуле :
(3)
Доказательство.
Надо доказать :
(4)
Доказательство от противного.
Будем считать, что
, а это значит :
(по теореме Реллиха-Гординга)
Имеем противоречие.Теорема доказана.
Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Пусть
- решение задачи (1)-(2). Возьмем
и умножим (1) на
, проинтегрируем и получим :
. Если
- гладкая, то :
(3)
Определение.
Функция
называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции
выполняется тождество (3).
При исследовании обобщенных решений
.
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор
, такой, что
.
При этом
-компактный самосопряжённый положительный оператор.
По определению :
.
- антилинейный по
.
.
f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
F - линейно зависит от u.
.
Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
Самосопряженность доказана.
Теорема.
Для любой функции
cуществует единственный
краевой задачи (1) (2). При этом
(4)
Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
Определение.
Функция
называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :
(3)
Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :
2.Существует ортонормированный базис в
состоящий из собственных функций задачи (1) (2)
.
3.
составляет ортонормированный базис в
с эквивалентным скалярным произведением :
(4)
Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
,
,
.
Эквивалентная задача :
Теорема 1.
Если
- линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр
- вещественный, и :
Теорема 2.
Пусть
- компактный, самосопряженный оператор, тогда
состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть
- копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве
, состоящий из собственных функций этого оператора :
.
Для удобства
,
.
Значит :
- ортонормированная система в
.
Так как